凯利公式（Kelly Criterion）

由贝尔实验室数学家 John Kelly 于 1956 年提出，用于确定在已知胜率和赔率情况下的最优下注比例。

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公式

$$f^* = \frac{bp - q}{b}$$

变量	含义
f*	应投入总资金的最优比例
b	赔率（赢的收益/投入金额）
p	赢的概率
q	输的概率（q = 1 - p）

核心思想

在已知胜率和赔率的情况下，每次下注多大比例，能让长期资金增长最快，同时不会破产。

举例

假设一个投资机会：

• 胜率 60%（p=0.6），输了亏 100%，赢了赚 100%（赔率 b=1）

$$f^* = \frac{1 \times 0.6 - 0.4}{1} = 0.2$$

→ 每次最优投入资金的 20%。

三个关键结论

1. 胜率高于50%才值得下注（fair odds下），公式结果为正；胜率不足时公式给出负值，意味着不该下注
2. 永远不满仓——凯利公式的最优比例永远 < 100%，因为满仓有破产风险
3. 比例太高比太低更危险——超过凯利比例会降低长期回报并增加波动；低于凯利比例只是增长慢一点，不会致命

投资界的实际用法

巴菲特、芒格、段永平都提到过这个概念。

"半凯利"（Half-Kelly） 是专业投资者最常用的变体——即公式算出比例的一半，因为：

• 对胜率的估计本身就不精确
• 降低回撤幅度，心理压力小
• 长期回报只低一点点，但风险大幅下降

段永平的"集中投资"理念本质上也与此相关：只在高确定性时重仓，不确定就少买或不买——这就是凯利公式的直觉版本。

适用场景

• 赌博/博彩（最初的应用场景）
• 股票投资仓位管理
• 创业资源分配
• 任何"下注+概率+赔率"的决策场景

局限

• 公式假设胜率和赔率是已知的，现实中很难精确估计
• 假设每次下注独立，但市场投资往往有相关性
• 不考虑心理承受能力（全凯利比例的回撤可能超过 50%）